A expressão que define a função quadrática f(x) cujo gráfico é uma parábola é dada pela fórmula geral:f(x) = ax² + bx + cOnde:- a, b e c são constantes reais, com a ≠ 0.- a é o coeficiente do termo quadrático.- b é o coeficiente do termo linear.- c é o termo constante.
O valor de a determina a abertura e a orientação da parábola. Se a > 0, a parábola abre para cima. Se a < 0, a parábola abre para baixo. O ponto mais baixo ou mais alto da parábola, conhecido como vértice, é um ponto crucial na análise da função quadrática.
O vértice da parábola pode ser encontrado usando a fórmula x = -b/(2a). Substituindo este valor de x na função, obtemos o valor de y correspondente, que é o valor mínimo ou máximo da função, dependendo do sinal de a.
Além do vértice, outro ponto importante é o eixo de simetria, que é a reta vertical x = -b/(2a). Este eixo divide a parábola em duas partes simétricas.
As raízes da função quadrática, ou seja, os valores de x para os quais f(x) = 0, podem ser encontradas resolvendo a equação ax² + bx + c = 0. Esta equação pode ser resolvida usando a fórmula de Bhaskara:
x = -b ± √(b² – 4ac) / 2a
O discriminante Δ = b² – 4ac determina a natureza das raízes:
– Se Δ > 0, a equação possui duas raízes reais e distintas.- Se Δ = 0, a equação possui uma raiz real dupla.- Se Δ < 0, a equação não possui raízes reais.
As funções quadráticas são amplamente utilizadas em diversas áreas da matemática, física e engenharia, devido à sua simplicidade e capacidade de modelar uma variedade de fenômenos naturais e artificiais.
Por exemplo, no contexto da física, a trajetória de um objeto lançado no ar pode ser descrita por uma função quadrática. Na engenharia, as funções quadráticas são usadas para otimização de processos e design de estruturas.
Em resumo, a função quadrática f(x) = ax² + bx + c é uma ferramenta fundamental na matemática e suas aplicações, permitindo a análise e modelagem de diversos fenômenos através de seu gráfico, a parábola.
